기초 수학 예제

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{a^{2} + 3 a - 4}$

단계 1

AC 방법을 이용하여 $a^{2} + 3 a - 4$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 4$ 이고 합은 $3$ 입니다.

$- 1, 4$

단계 1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

단계 2

$a - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{a - 1}{(a - 1) (a + 4)}$

단계 2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a + 4}$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{a^{2} - 1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{a + 4}{a + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} - \frac{1}{a + 4}$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{a + 4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{a^{2} - 1} \cdot \frac{a + 4}{a + 4} - \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

단계 5

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(a^{2} - 1) (a + 4)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{a^{2} - 1}$ 에 $\frac{a + 4}{a + 4}$ 을 곱합니다.

$\frac{a + 4}{(a^{2} - 1) (a + 4)} - \frac{1}{a + 4} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

단계 5.2

$\frac{1}{a + 4}$ 에 $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{a + 4}{(a^{2} - 1) (a + 4)} - \frac{a^{2} - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

단계 5.3

$(a^{2} - 1) (a + 4)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{a + 4}{(a + 4) (a^{2} - 1)} - \frac{a^{2} - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{a + 4 - (a^{2} - 1)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

단계 7

인수분해된 형태로 $\frac{a + 4 - (a^{2} - 1)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$ 를 다시 씁니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{a + 4 - a^{2} - - 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

단계 7.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{a + 4 - a^{2} + 1}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

단계 7.3

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{a - a^{2} + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

단계 7.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- a^{2} + a + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

단계 7.5

$- a^{2} + a + 5$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.5.1

$- a^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (a^{2}) + a + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

단계 7.5.2

$a$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) + 5}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

단계 7.5.3

$5$ 을 $- 1 (- 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (a^{2}) - 1 (- a) - 1 (- 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

단계 7.5.4

$- (a^{2}) - 1 (- a)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (a^{2} - a) - 1 (- 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

단계 7.5.5

$- (a^{2} - a) - 1 (- 5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1)}$

단계 7.6

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a^{2} - 1^{2})}$

단계 7.7

인수분해합니다.

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단계 7.7.1

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = a$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) ((a + 1) (a - 1))}$

단계 7.7.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$\frac{- (a^{2} - a - 5)}{(a + 4) (a + 1) (a - 1)}$